Protège ma promesse

J'ai réentendu le Chant de la Promesse ce matin lors
de la messe des Scouts du Mesnil Le Roi.

Fidèle à ma Patrie
Je le serai ;
Tous les jours de ma vie,Je servirai.

Je veux t'aimer sans cesse, de plus en plus,
Protège ma promesse, Seigneur Jésus !

Je ne me souvenais plus combien c'est beau.

Enigma

Une bien jolie énigme, soumise par une mathématicienne en herbe :

Vous disposez d'une balance à plateaux très précise.
On vous remet 13 pièces d'or d'apparence identique.

On vous dit que si une pièce fausse s'est glissée dans le lot (maximum 1 fausse pièce), elle est d'un poids différent, donc soit plus lourde soit plus légère que les vraies pièces.
En seulement 3 pesées, vous devez trouver :
a) Si toutes les pièces sont vraies, ou si il y en a effectivement une de fausse dans le lot ?
b) Si une pièce est fausse dans le lot, laquelle est-ce ?
c) Si une pièce est fausse dans le lot, elle-est plus lourde ou plus légère que les vraies ?

Et une belle généralisation du cas particulier à 13 pièces, pour les plus grand(e)s :

Montrer, de manière générale, que pour tout naturel n, il est toujours possible, en n pesées, de trouver dans un lot de (3^n - 1)/2 pièces l'éventuelle unique pièce contrefaite et de préciser, dans le cas où cette pièce existe, si elle est plus lourde ou plus légère qu'une vraie.

Ouaouh ...